En 1965, Michael Armstrong (Paul Newman), un físico y científico de cohetes estadounidense, viaja a una conferencia en Copenhague con su asistente y prometida, Sarah Sherman (Julie Andrews). Armstrong recibe un radiograma para recoger un libro en Copenhague; contiene un mensaje que dice: "Contacte con π en caso de emergencia". Le dice a Sherman que va a Estocolmo, pero ella descubre que está volando a Berlín Oriental y le sigue. Cuando aterrizan, es recibido por representantes del gobierno de Alemania Oriental. Sherman se da cuenta de que Armstrong ha desertado, y se horroriza al saber que, dadas las circunstancias de la Guerra Fría, si se queda con él, probablemente nunca volverá a ver su casa o su familia.

Armstrong visita a un contacto, un "granjero" (Mort Mills), donde se revela que su deserción es en realidad una treta para ganarse la confianza del estamento científico de Alemania Oriental, con el fin de saber cuánto sabe su científico jefe Gustav Lindt (Ludwig Donath) y, por extensión, la Unión Soviética, sobre los sistemas antimisiles.

Armstrong ha hecho los preparativos para regresar a Occidente a través de una red de huida, conocida como π. Sin embargo, le sigue hasta la granja su acompañante designado, Hermann Gromek (Wolfgang Kieling), un oficial de seguridad de Alemania Oriental. Gromek se da cuenta de lo que es π y de que Armstrong es un agente doble, y mientras Gromek llama a la policía, comienza una tortuosa lucha que acaba con Gromek asesinado por Armstrong y la mujer del granjero (Carolyn Conwell). Gromek y su motocicleta son enterrados en el terreno. Sin embargo, el taxista (Peter Lorre Jr., sin acreditar) que llevó a Armstrong a la granja, ve la foto de Armstrong en el periódico y lo denuncia a la policía.

Al día siguiente, Armstrong visita la facultad de física de la Universidad Karl Marx de Leipzig y su entrevista con los científicos termina abruptamente cuando es interrogado por los funcionarios de seguridad sobre el desaparecido Gromek. Los profesores intentan interrogar a Sherman sobre su conocimiento del programa antimisiles estadounidense "Gamma Five", pero ella se niega a cooperar y huye de la sala, aunque ha aceptado desertar a Alemania del Este. Armstrong la alcanza y le confía en secreto sus verdaderos motivos, y le pide que siga con la treta.

Finalmente, Armstrong incita al profesor Lindt a revelar sus ecuaciones antimisiles en un arrebato por lo que Lindt cree que son errores matemáticos de Armstrong. Cuando Lindt escucha por la megafonía de la universidad que buscan a Armstrong y a Sherman para interrogarlos, se da cuenta de que ha entregado sus secretos sin aprender nada a cambio. Armstrong y Sherman escapan de la escuela con la ayuda de la doctora Koska (Gisela Fischer), médico de la clínica universitaria.

La pareja viaja a Berlín Oriental, perseguida por la Stasi, en un autobús señuelo operado por la red π, dirigida por el Sr. Jacobi (David Opatoshu). Los controles de carretera, el asalto a la autopista por parte de desertores del ejército soviético y el amontonamiento con el autobús "real" hacen que la policía se dé cuenta del engaño, y todos los que van a bordo se ven obligados a huir. Mientras buscan la oficina de correos de la calle Friedrichstraße, los dos se encuentran con la condesa polaca exiliada Kuczynska (Lila Kedrova), que los lleva a la oficina de correos con la esperanza de que les patrocinen un visado estadounidense. Cuando son descubiertos, Kuczynska hace tropezar al guardia que los persigue y permite que Armstrong y Sherman escapen a su siguiente destino.

Dos hombres se les acercan en la acera, uno de los cuales es el "granjero". Les da entradas para el ballet como parte de un plan para llevarlos de contrabando a Suecia esa noche dentro del equipaje de la compañía de ballet. Mientras asisten al ballet y esperan a que los recojan, son descubiertos y denunciados a la policía por la bailarina principal (Tamara Toumanova), que voló a Berlín Oriental en el mismo avión que Armstrong.

Armstrong y Sherman escapan entre la multitud gritando "fuego". Se esconden dentro de dos cestas de trajes y son transportados a través del Mar Báltico hasta Suecia en un carguero de Alemania Oriental. La bailarina, desesperada por revelar el escondite de los fugitivos debido a los subterfugios de un miembro de la tripulación de π, identifica las cestas equivocadas, que son disparadas por un guardia con una ametralladora mientras cuelgan sobre el muelle, pero Armstrong y Sherman ya han escapado saltando por la borda y nadando hasta el muelle sueco.